平面向量共線定理是高中數(shù)學的重點學習內(nèi)容，也是高考?？嫉目键c之一。學生首先要熟悉定理，然后才能懂得該如何在題目中應用。

平面向量共線定理

平面向量共線定理：共線向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示為a∥b，任意一組平行向量都可移到同一直線上，所以稱為共線向量。共線向量基本定理為如果a≠0，那么向量b與a共線的充要條件是：存在唯一實數(shù)λ，使得b=λa。

證明：

充分性：對于向量a(a≠0)、b，如果有一個實數(shù)λ，使b=λa，那么由實數(shù)與向量的積的定義知，向量a與b共線。

必要性：已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是向量a的長度的m倍，即∣b∣=m∣a∣。那么當向量a與b同方向時，令λ=m，有b=λa，當向量a與b反方向時，令λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。

唯一性：如果b=λa=μa，那么(λ-μ)a=0。但因a≠0，所以λ=μ。

向量的基本定理和公式

1、向量是有大小又有方向的量。如力、位移，速度等。

2、向量的大小稱為向量的模，記作|a|。

3、向量的運算：

1）求和（結果仍是向量），利用三角形法則或平行四邊形法則。

2）向量和數(shù)的乘積（結果仍是向量）。

定理：設向量a≠0，那么，向量b與向量a平行的充分必要條件是：存在唯一的實數(shù)λ，使b=λa。

4、向量的坐標

1）（一個向量）：向量的坐標表示法：用向量的起點和終點兩個點的坐標表示。

例如：向量a表示由點M1指向點M2的向量，M1（x1，y2，z1）為起點，M2（x2，y2，z2）為終點，則向量a表示為

a=M1M2=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）

即：向量的坐標為終點坐標減去起點坐標的對應坐標值。可理解為將向量a平移到起點與坐標原點重合。

2）（兩個向量）：向量的加法、減法以及向量與數(shù)的乘積。

（1）向量相加時，向量之和的坐標為對應坐標值之和；

（2）向量相減時，向量之差的坐標為對應坐標值之差（前坐標-后坐標）；

（3）向量與數(shù)相乘，乘積的坐標為對應坐標值與數(shù)的乘積。

5、（一個向量）：向量的方向角：

非零向量a與三條坐標軸正向的夾角α、β、γ稱為它的方向角。向量的模、方向角與坐標之間的關系如下：

ax=|a|cosα，ay=|a|cosβ，az=|a|cosγ，（1）

即，向量的對應坐標值等于向量的模乘以對應方向角的余弦值。

注：向量三個方向余弦值的平方和等于1

注：向量的模等于向量各坐標值的平方和開算術平方根。（求向量的模就是求向量（坐標點與原點連線）的長度，解三角形。）

再由式（1）可求出，各個方向余弦角。

6、（兩個向量）：數(shù)量積、向量積、混合積

設兩個向量的夾角為θ（0≤θ≤π）。

1）數(shù)量積：

向量a和向量b的數(shù)量積（點乘）是一個數(shù)量（實數(shù)），記作a * b，其大小為|a||b|cosθ。

注：向量a與向量b垂直的充分必要條件是a*b=0。(實數(shù)0）（因為，cos90°=0）

2）向量積：

向量a和向量b的向量積（×乘）是一個向量c，記作a x b，即 c=a x b，c的模記作|c|=|axb|=|a||b|sinθ。

即：兩個向量積的向量積的模等于兩個向量的模的乘積的正弦值。

向量c的方向垂直于向量a和向量b所決定的平面，c的指向按右手法則確定。

3）（兩個向量）向量的坐標表示法：

向量a=（x1，y2，z1），向量b=（x2，y2，z2）

（1）數(shù)量積（點乘）：向量積等于對應坐標乘積之和（乘積是一個數(shù)量（實數(shù)））。

即：a*b=x1*x2+y1*y2+z1*z2

（2）向量積（×乘）：（乘積是一個向量）

axb=（y1*z2-z1*y2，z1x2-x1z2，x1y2-y1x2）（注：寫成矩陣形式比較直觀）

由向量積的定義可知，向量a與向量b平行的充分必要條件是axb=0（0向量）。

（3）混合積：

三個向量a、b、c的混合積是一個數(shù)量。這個數(shù)量通過先作前兩個向量的向量積axb，再作數(shù)量積（axb）*c得到，混合積記作[abc]，即：

[abc]=（axb）*c

向量混合積[abc]的幾何意義：（注：向量混合積應用，求空間任意四個點圍成的四面體體積。）

[abc]這個數(shù)，它的絕對值表示以向量a、b、c為棱的平行六面體的體積，它的符號由向量a、b、c組成右手系還是左手系來確定，前者為正，后者為負。