質(zhì)數(shù)的意思是素數(shù)，除本身的絕對值外，不可能為大于1的整數(shù)除盡的數(shù)。比如1就是質(zhì)數(shù)，因為它只能被1和它自身整除。2也是質(zhì)數(shù)，因為它也是只能被1和它本身整除。

質(zhì)數(shù)是什么？

1、質(zhì)數(shù)又稱素數(shù)。一個大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；否則稱為合數(shù)。 

2、質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無窮的。歐幾里得的《幾何原本》中有一個經(jīng)典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設(shè)質(zhì)數(shù)只有有限的n個，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設(shè)N=p1×p2×……×pn，那么，是素數(shù)或者不是素數(shù)。 

3、如果為素數(shù)，則要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設(shè)的素數(shù)集合中。

質(zhì)數(shù)具有許多獨特的性質(zhì)：

（1）質(zhì)數(shù)p的約數(shù)只有兩個：1和p。

（2）初等數(shù)學(xué)基本定理：任一大于1的自然數(shù)，要么本身是質(zhì)數(shù)，要么可以分解為幾個質(zhì)數(shù)之積，且這種分解是唯一的。

（3）質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無限的。

（4）質(zhì)數(shù)的個數(shù)公式是不減函數(shù)。

（5）若n為正整數(shù)，在n2到 (n+1)2之間至少有一個質(zhì)數(shù)。

（6）若n為大于或等于2的正整數(shù)，在n到n！之間至少有一個質(zhì)數(shù)。

（7）若質(zhì)數(shù)p為不超過n(n≥4的最大質(zhì)數(shù)，則p>n/2。

（8）所有大于10的質(zhì)數(shù)中，個位數(shù)只有1，3，7，9。

為什么質(zhì)數(shù)有無窮多個？

假設(shè)質(zhì)數(shù)只有有限的n個，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設(shè)N=p1×p2×……×pn，那么，N+1是質(zhì)數(shù)或是合數(shù)。如果N+1為質(zhì)數(shù)，則N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設(shè)的質(zhì)數(shù)集合中。如果N+1為合數(shù)，因為任何一個合數(shù)都可以分解為幾個質(zhì)數(shù)的積，然而N和N+1的最大公約數(shù)是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數(shù)分解得到的質(zhì)因數(shù)肯定不在假設(shè)的質(zhì)數(shù)集合中。因此無論該數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，都意味著在假設(shè)的有限個質(zhì)數(shù)之外還存在著其他質(zhì)數(shù)，也就是說質(zhì)數(shù)有無窮多個。

如何尋找質(zhì)數(shù)?

雖然質(zhì)數(shù)有無窮多個，但是人們依然希望知道如何快速判斷一個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。古希臘的埃拉托色尼(我們之前談到過，就是那個測量出地球半徑的人)給出了一種制作質(zhì)數(shù)表的方法:篩選法。

他的思路是：要找到一個小于某自然數(shù)n的全部質(zhì)數(shù)，只需要按照下面的方式：

1. 找到這個數(shù)字的平方根m=√m

2. 找到不大于m的所有質(zhì)數(shù)。

3 .在一張自然數(shù)表上劃掉所有質(zhì)數(shù)的整數(shù)倍(質(zhì)數(shù)本身不劃掉)

4. 把1劃掉。

5. 沒有劃掉的數(shù)字就是質(zhì)數(shù)。

例如，我們要找到100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，只需要按照下面的步驟進行：

1.計算100的平方根，是10。

2.10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7

3.劃掉2、3、5、7的整數(shù)倍。首先劃掉2的倍數(shù)，如4、6、8…、98、100，然后劃掉3的倍數(shù)，如6、9、12、15、…、99，重復(fù)的就不需要再劃掉了。然后劃掉5的倍數(shù)，7的倍數(shù)。

4. 最后劃掉1。

5. 表中余下的數(shù)字就是質(zhì)數(shù)。

這個方法的依據(jù)是:如果一個數(shù)字是合數(shù)，那么它最小的質(zhì)因子不會超過它的平方根。對于這個問題的證明我們依然可以使用反證法：如果所有質(zhì)因子都大于它的平方根，兩個質(zhì)因子相乘就會比它大了。

質(zhì)數(shù)的應(yīng)用？

質(zhì)數(shù)被利用在密碼學(xué)上，所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時加入質(zhì)數(shù)，編碼之后傳送給收信人，任何人收到此信息后，若沒有此收信人所擁有的密鑰，則解密的過程中(實為尋找素數(shù)的過程)，將會因為找質(zhì)數(shù)的過程(分解質(zhì)因數(shù))過久，使即使取得信息也會無意義。

在汽車變速箱齒輪的設(shè)計上，相鄰的兩個大小齒輪齒數(shù)設(shè)計成質(zhì)數(shù)，以增加兩齒輪內(nèi)兩個相同的齒相遇嚙合次數(shù)的最小公倍數(shù)，可增強耐用度減少故障。

在害蟲的生物生長周期與殺蟲劑使用之間的關(guān)系上，殺蟲劑的質(zhì)數(shù)次數(shù)的使用也得到了證明。實驗表明，質(zhì)數(shù)次數(shù)地使用殺蟲劑是最合理的；都是使用在害蟲繁殖的高潮期，而且害蟲很難產(chǎn)生抗藥性。