奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義就是若為奇函數(shù)，則滿足-f（x）=f（-x）公式，若為偶函數(shù)則滿足f（x）=f（-x），一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相加所得的和或相減所得的差為非奇非偶函數(shù)。

奇偶函數(shù)的定義：

奇函數(shù)定義：奇函數(shù)是指對(duì)于一個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（-x）= - f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)（odd function）。

對(duì)定義理解：

①定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

②f（-x）= - f（x）

等價(jià)表達(dá)f（-x）＋ f（x）=0

這兩條是奇函數(shù)必備條件，缺一不可。

偶函數(shù)定義：對(duì)于一個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（x）=f（-x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)（Even Function）。

對(duì)定義的理解：

①定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

②f（-x）= f（x）=f（｜x｜）

等價(jià)表達(dá)：f（-x） - f（x）=0

定義可以做為判斷函數(shù)是否為奇偶函數(shù)的方法。

奇函數(shù)性質(zhì)：

1、兩個(gè)奇函數(shù)相加所得的和或相減所得的差為奇函數(shù)。

2、一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相加所得的和或相減所得的差為非奇非偶函數(shù)。

3、兩個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積或相除所得的商為偶函數(shù)。

4、一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積或相除所得的商為奇函數(shù)。

偶函數(shù)性質(zhì)：

1、圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。

2、滿足f（-x） = f（x）。

3、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反。

4、如果一個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)有是偶函數(shù)，那么有f（x）=0。

5、定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇偶函數(shù)共有的）。

函數(shù)奇偶性的證明方法一般有：

⑴定義法：函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)應(yīng)法則是否相同。

⑵圖像法：f（x）為奇函數(shù)<=>f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)（x,y）→（-x,-y）f（x）為偶函數(shù)<=>f（x）的圖像關(guān)于Y軸對(duì)稱點(diǎn)（x,y）→（-x,y）

⑶特值法：根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，在定義域內(nèi)取特殊值自變量，計(jì)算后根據(jù)因變量的關(guān)系判斷函數(shù)奇偶性。

奇偶函數(shù)四則運(yùn)算性質(zhì)：

假設(shè)兩個(gè)具有奇偶性的函數(shù)的定義域的交集非空，則這兩個(gè)函數(shù)的的四則運(yùn)算后的奇偶性一般有如下結(jié)論成立：

1、奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)。

2、偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)。

3、奇函數(shù)±偶函數(shù)=非奇非偶函數(shù)。

4、偶函數(shù)±奇函數(shù)=非奇非偶函數(shù)。

5、奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)。

6、偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)。

7、奇函數(shù)÷奇函數(shù)=偶函數(shù)。

8、偶函數(shù)÷偶函數(shù)=偶函數(shù)。

9、奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)。

10、偶函數(shù)×奇函數(shù)=奇函數(shù)。

11、奇函數(shù)÷偶函數(shù)=奇函數(shù)。

12、偶函數(shù)÷奇函數(shù)=奇函數(shù)。