裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的。 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）倍數(shù)的關(guān)系。

裂項(xiàng)公式大全

（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]

（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5）n·n!=(n+1)!-n!

（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]

（7）1/[√n+√（n+1）]=√（n+1）-√n

（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]

裂項(xiàng)相消三大特征：

（1）分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將x提取出來即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運(yùn)算。

（2）分母上均為幾個自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個分母上的因數(shù)“首尾相接” 。

（3）分母上幾個因數(shù)間的差是一個定值。裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡化的目的”。

裂項(xiàng)求和

裂項(xiàng)求和是指將一個多項(xiàng)式的一系列項(xiàng)拆開成若干個小多項(xiàng)式的和。

裂項(xiàng)求和的八種形式：

1. 等差數(shù)列求和公式：$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

2. 等差數(shù)列求和公式的推廣：$a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(n-1)d)=\frac{n(2a+(n-1)d)}{2}$

3. 平方和公式：$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

4. 立方和公式：$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$

5. $a^n-b^n$的因式分解公式：$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})$

6. $a^n+b^n$的因式分解公式（n為奇數(shù)）：$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...+ab^{n-2}-b^{n-1})$

7. $a^n+b^n$的因式分解公式（n為偶數(shù)）：$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...-ab^{n-2}+b^{n-1})$

8. 二項(xiàng)式定理：$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$，其中$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$表示n個不同元素中取k個元素的組合數(shù)。