積化和差，指初等數(shù)學(xué)三角函數(shù)部分的一組恒等式。三角函數(shù)公式看似很多、很復(fù)雜，但只要掌握了三角函數(shù)的本質(zhì)及內(nèi)部規(guī)律，就會發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)各個公式之間有強(qiáng)大的聯(lián)系。今天給大家詳細(xì)介紹三角函數(shù)積化和差公式，一定要認(rèn)真閱讀，有助于解答問題。

三角函數(shù)積化和差公式

sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]

三角函數(shù)的和差化積公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

和差化積公式推導(dǎo)：

首先，我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb，sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以，sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理，若把兩式相減，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同樣的，我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb，cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以，把兩式相加，我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我們就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理，兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

這樣，我們就得到了積化和差的四個公式：

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

有了積化和差的四個公式以后，我們只需一個變形，就可以得到和差化積的四個公式。

我們把上述四個公式中的a+b設(shè)為x，a-b設(shè)為y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2

把a(bǔ)，b分別用x，y表示就可以得到和差化積的四個公式：

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

三角函數(shù)

三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中重要的概念之一，它們在幾何、物理、工程和許多其他領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。三角函數(shù)是一類周期性函數(shù)，它們描述了角度和長度之間的關(guān)系。在本文中，我們將介紹三角函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和應(yīng)用。

首先，讓我們來看看三角函數(shù)的基本定義。在直角三角形中，三角函數(shù)是角度的函數(shù)，它們描述了角度和三角形邊長之間的關(guān)系。在三角函數(shù)中，最常見的三個函數(shù)是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)。這些函數(shù)分別表示了角度的正弦值、余弦值和正切值。正弦函數(shù)通常用sin表示，余弦函數(shù)用cos表示，正切函數(shù)用tan表示。這些函數(shù)的定義如下：

正弦函數(shù)：sin（θ） = 對邊/斜邊

余弦函數(shù)：cos（θ） = 鄰邊/斜邊

正切函數(shù)：tan（θ） = 對邊/鄰邊

這些定義是基于直角三角形的，但是它們也可以用于任意角度的三角形。在這種情況下，我們可以使用單位圓來定義三角函數(shù)。單位圓是一個半徑為1的圓，它與x軸和y軸的交點定義了一個角度。在單位圓上，正弦函數(shù)表示了角度對應(yīng)點的y坐標(biāo)，余弦函數(shù)表示了角度對應(yīng)點的x坐標(biāo)，而正切函數(shù)表示了y坐標(biāo)和x坐標(biāo)的比值。這種定義使得三角函數(shù)可以用于任意角度的三角形，并且可以推廣到復(fù)數(shù)域中。

三角函數(shù)性質(zhì)

1. 三角函數(shù)的定義域

三角函數(shù)的定義域是研究其他一切性質(zhì)的前提，求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上就是解最簡單的三角不等式（組），通?？捎萌呛瘮?shù)的圖象或三角函數(shù)線來求解。注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

2. 三角函數(shù)的單調(diào)性

（1）若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)中A>0，ω<0，可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)閥＝－Asin(－ωx－φ)，則y＝Asin(－ωx－φ)的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間；減區(qū)間為原函數(shù)的增區(qū)間。

對于函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的單調(diào)性的討論與上類似。

(2)比較三角函數(shù)值的大小，往往是利用奇偶性或周期性轉(zhuǎn)化為屬于同一單調(diào)區(qū)間上的兩個同名三角函數(shù)值，再利用單調(diào)性比較。

3. 周期性

sin函數(shù)周期為2π。

cos函數(shù)周期為2π。

tan函數(shù)周期為π。

4. 奇偶性

sin函數(shù)是奇函數(shù)。

cos函數(shù)是偶函數(shù)。

tan函數(shù)是奇函數(shù)。

5.圖像性質(zhì)

y=sinx

中心對稱：關(guān)于點(kπ,0)對稱

軸對稱：關(guān)于x=kπ+π/2對稱

y=cosx

中心對稱：關(guān)于點(kπ+π/2,0)對稱

軸對稱：關(guān)于x=kπ對稱

y=tanx

中心對稱：關(guān)于點(kπ/2,0)對稱

三角函數(shù)的值域問題主要有兩種類型

一種是化為y=Asin（ωx＋φ）＋B

另一種是化為關(guān)于sinx.cosx或tanx的二次函數(shù)。

第一種類型可利用三角函數(shù)的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)求得，第二種類型可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的性質(zhì)求得。

不管哪種類型，都要注意角的范圍。

尤其第一種類型，類比正弦函數(shù)畫圖象是關(guān)鍵，在求解中會簡便很多。

三角函數(shù)實際應(yīng)用

1、三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用

（1）角度與弧度的轉(zhuǎn)換：在幾何學(xué)中，角度和弧度是描述角的大小的兩種方式。通過三角函數(shù)，我們可以實現(xiàn)角度和弧度之間的轉(zhuǎn)換，這對于解決一些與角度相關(guān)的幾何問題非常有用。

（2）三角形的解法：三角函數(shù)在解三角形問題中發(fā)揮著重要作用。已知三角形的兩邊和夾角，或者兩角和一邊，我們可以利用正弦定理、余弦定理等方法求出三角形的其他邊或角。這對于研究三角形的性質(zhì)和解決實際問題具有重要意義。

（3）空間幾何中的應(yīng)用：在空間幾何中，三角函數(shù)被用來描述空間中點、線、面之間的關(guān)系。例如，通過球坐標(biāo)系中的三角函數(shù)，我們可以表示空間中任意一點的位置；在圓柱坐標(biāo)系中，三角函數(shù)可以幫助我們描述點的位置以及與坐標(biāo)軸之間的關(guān)系。

2、三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用

（1）振動與波動：在物理學(xué)中，振動和波動現(xiàn)象是常見的。三角函數(shù)可以用來描述這些現(xiàn)象中的周期性變化。例如，簡諧振動的位移與時間的關(guān)系可以用正弦或余弦函數(shù)表示；波動中的波函數(shù)也可以用三角函數(shù)表示。

（2）力學(xué)中的應(yīng)用：在力學(xué)中，三角函數(shù)被用來描述物體的運動狀態(tài)。例如，在斜面上的物體下滑時，其加速度可以分解為水平和豎直兩個方向的分量，這兩個分量可以用三角函數(shù)表示。此外，在研究拋體運動、圓周運動等問題時，也需要用到三角函數(shù)。

（3）電磁學(xué)中的應(yīng)用：在電磁學(xué)中，三角函數(shù)被用來描述電場和磁場的分布以及電磁波的傳播。例如，交流電中的電壓和電流隨時間的變化可以用正弦函數(shù)表示；電磁波的傳播方向可以用三角函數(shù)描述其與空間坐標(biāo)的關(guān)系。

3、三角函數(shù)在工程中的應(yīng)用

（1）信號處理：在工程領(lǐng)域中，信號處理是一個重要分支。三角函數(shù)被用來表示和處理各種信號波形。例如，在音頻處理中，聲音信號可以被分解為不同頻率的正弦波；在圖像處理中，圖像的灰度值可以被看作是隨空間位置變化的三角函數(shù)。

（2）電路設(shè)計：在電路設(shè)計中，三角函數(shù)被用來分析交流電路中的電壓、電流和功率等參數(shù)。通過傅里葉分析等數(shù)學(xué)工具，我們可以將復(fù)雜的電路信號分解為一系列簡單的三角函數(shù)之和或之積的形式，從而簡化電路設(shè)計和分析過程。

（3）機(jī)械工程：在機(jī)械工程中，三角函數(shù)被用來描述機(jī)械零件的形狀和運動軌跡。例如，在設(shè)計齒輪、凸輪等機(jī)械零件時，需要用到三角函數(shù)的性質(zhì)來計算其形狀和尺寸；在研究機(jī)械運動時，需要用到三角函數(shù)來描述物體的位移、速度和加速度等參數(shù)。